会員カードについて

コストコのガスステーションの決済で使用できるのは、マスターカードのクレジットカード（本人名義のみ）か、コストコプリペイドカード（コストコ会員のみ）。

ということは、会員であるお母様に同行頂いて会員証提示とクレジット（またはプリペイド）決済してもらうのが本来の利用方法だと考えます。

コストコの家族会員カードはどなたがお持ちですか？
もしまだ作られていないのであれば、家族で一番フットワークの軽い人名義で作られると良いかと。（いつでも同行してくれる人）
仮に息子さんが家族会員になってクレジットカードがなかったとしても、プリペイドカードの無償譲渡は可能ですので、お母様に予め購入しておいてもらえば決済は問題ないかと。（いや、会員になってから自分で購入しておけばいいのか）

大丈夫ですか？という聞き方に含まれていそうな事情は、上記を踏まえた上でご判断ください。